Lois de puissance
Almost everything follows power laws.
Qu'est-ce qu'une loi de puissance ?
Une loi de puissance est une relation mathématique entre deux quantités, dans laquelle une variation relative d'une quantité entraîne une variation relative proportionnelle de l'autre, indépendamment de la taille initiale de ces quantités. La forme générale d'une loi de puissance est la suivante :
Ici, et sont les variables, est une constante et est l'exposant.
Ce type de relation suggère que le changement d'une variable entraîne un changement prévisible de l'autre, selon un schéma cohérent.
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Distribution normale et loi de puissance
Explication simple
En termes plus simples, une loi de puissance décrit des situations dans lesquelles un changement spécifique d'un facteur entraîne un changement correspondant d'un autre facteur.
Par exemple, si le doublement du nombre d'utilisateurs d'une plateforme de médias sociaux se traduit par une multiplication par quatre de la valeur du réseau, cette relation peut être décrite par une loi de puissance.
De même, si l'augmentation de la longueur d'un côté d'un carré entraîne une augmentation de la surface égale au carré de la variation de la longueur, il s'agit d'une loi de puissance.
Graphiques log-log
Les diagrammes log-log peuvent être utilisés pour visualiser les lois de puissance.
Les diagrammes log-log peuvent faciliter la compréhension et l'identification de ces relations mathématiques.
Considérons à nouveau la loi de puissance .
En prenant le logarithme des deux côtés, la loi de puissance devient :
Il s'agit d'une équation linéaire (dans l'espace logarithmique) où est la pente et l'ordonnée à l'origine.
Par conséquent, une relation de type loi de puissance apparaîtra sous la forme d'une ligne droite sur un graphique log-log (tel que les figures ci-dessous), la pente de la ligne correspondant à l'exposant de la loi de puissance.
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Visualisation du tracé y_Linéaire - x_Linéaire
Visualisation du tracé y_Log - x_Log
Exemples de lois de puissance dans la nature et dans d'autres contextes
Orbites planétaires
La troisième loi de Kepler stipule que le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube de sa distance moyenne par rapport au Soleil :
Tracé logarithmique de la période orbitale en fonction de la distance moyenne au Soleil pour les planètes du système solaire, illustrant la troisième loi de Kepler.
La ligne de régression s'ajuste aux données planétaires avec une grande précision, comme le montre le diagramme de dispersion sur une échelle log-log.
Gravité
La force de gravité entre deux objets suit une loi de puissance.
La loi de Newton sur la gravitation universelle stipule que la force gravitationnelle entre deux masses est proportionnelle au produit de leurs masses rr^2$$, suivant une loi de puissance avec un exposant de -2.
$$ F = G \frac{{m_1 m_2}}{{r^2}} $$$
Il s'agit d'un exemple classique de loi de puissance, où la force diminue avec le carré de la distance.
Tremblements de terre
La fréquence et la magnitude des tremblements de terre suivent une distribution en loi de puissance.
La loi de Gutenberg-Richter décrit que le nombre de tremblements de terre diminue exponentiellement avec l'augmentation de la magnitude.
Statistiques sur les tremblements de terre Relation Gutenberg-Richter
Cela signifie que les petits tremblements de terre sont beaucoup plus fréquents que les grands.
Population et taille des villes
En sciences sociales, la distribution de la taille des villes suit souvent une loi de puissance.
Cela signifie qu'il y a quelques très grandes villes et de nombreuses petites villes.
À la suite de l'observation d'Auerbach en 1913, la loi de Zipf a fait l'objet d'un examen approfondi en ce qui concerne la taille des villes.
La même tendance est observée dans la répartition de la taille des populations entre les pays.
Répartition de la richesse
En économie, les lois de puissance décrivent la répartition des richesses.
Un petit pourcentage de la population contrôle une grande partie des richesses, tandis que la majorité en contrôle une plus petite partie.
Ce principe est souvent représenté par le principe de Pareto ou la "règle des 80/20".
Systèmes biologiques
En biologie, les lois de puissance peuvent décrire divers phénomènes, tels que la distribution des tailles dans les populations animales, les schémas de ramification des arbres et des vaisseaux sanguins.
Taux métabolique - Visualisation Log-Log
Par exemple, la relation entre le poids corporel d'un animal et son taux métabolique en kilocalories, où les animaux plus grands ont tendance à avoir un métabolisme plus lent par unité de masse corporelle par rapport aux animaux plus petits.
Pourquoi les lois de puissance sont-elles importantes ?
Les lois de puissance sont importantes car elles nous aident à comprendre et à prévoir le comportement de systèmes complexes.
Ils révèlent des modèles sous-jacents qui ne sont pas immédiatement évidents et sont présents dans un large éventail de disciplines, de la physique à l'économie.
En comprenant ces modèles, nous pouvons mieux comprendre la structure et la dynamique du monde qui nous entoure.
Conclusion
Les lois de puissance sont un concept fondamental qui apparaît dans divers phénomènes naturels et sociaux.
Exemples de distribution en loi de puissance. Adapté de : M. Newman, Power laws, Pareto distributions and Zipf's law, Contemporary Physics, 2007.
Ils fournissent un cadre permettant de comprendre comment différentes quantités sont liées et comment des changements dans l'une d'entre elles peuvent en affecter une autre.
Qu'il s'agisse des forces qui régissent les orbites planétaires ou de la répartition des richesses, les lois de puissance offrent de précieuses indications sur le monde dans lequel nous vivons.
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