🌌Leggi di potenza

Almost everything follows power laws.

Che cos'è una legge di potenza?

Una legge di potenza è una relazione matematica tra due quantità, in cui una variazione relativa di una quantità determina una variazione relativa proporzionale dell'altra, indipendentemente dalle dimensioni iniziali di tali quantità. La forma generale di una legge di potenza è:

$$y = Ax^n$$

Qui, $y$ e $x$ sono le variabili, $A$ è una costante e $n$ è l'esponente.

Questo tipo di relazione suggerisce che la variazione di una variabile porta a una variazione prevedibile dell'altra, seguendo un modello coerente.

Distribuzione normale vs distribuzione a legge di potenza

Spiegazione semplice

In termini più semplici, una legge di potenza descrive situazioni in cui una specifica variazione di un fattore causa una corrispondente variazione di un altro.

Ad esempio, se raddoppiando il numero di utenti su una piattaforma di social media si quadruplica il valore della rete, questa relazione può essere descritta da una legge di potenza.

Allo stesso modo, se l'aumento della lunghezza di un lato di un quadrato porta a un aumento dell'area pari al quadrato della variazione di lunghezza, segue una legge di potenza.

Grafici Log-Log

I diagrammi log-log possono essere utilizzati per visualizzare le leggi di potenza.

I diagrammi log-log possono aiutare a rendere queste relazioni matematiche più facili da comprendere e identificare.

Consideriamo di nuovo la legge di potenza $y = Ax^n$.

Prendendo il logaritmo di entrambi i lati, la legge di potenza diventa:

$$log (y) = alog (x) + log (b)$$

Si tratta di un'equazione lineare (nello spazio logaritmico) in cui $a$ è la pendenza e $log (b)$ è l'intercetta y.

Pertanto, una relazione di tipo power-law apparirà come una linea retta su un grafico log-log (come le figure seguenti), con la pendenza della linea corrispondente all'esponente della legge di potenza.

y_Linear - x_Linear Plot Visualization

y_Log - x_Log Plot Visualization

Esempi di leggi di potenza in natura e in altri contesti

Orbite planetarie

La terza legge di Keplero afferma che il quadrato del periodo orbitale $T$ di un pianeta è proporzionale al cubo della sua distanza media $a$ dal Sole:

$$T^2 \propto a^3$$

Grafico log-log del periodo orbitale rispetto alla distanza media dal Sole per i pianeti del Sistema Solare, che illustra la Terza Legge di Keplero.

La retta di regressione si adatta ai dati planetari con grande precisione, come mostra il grafico di dispersione su scala log-log.

Gravità

La forza di gravità tra due oggetti segue una legge di potenza.

La legge di Newton sulla gravitazione universale afferma che la forza gravitazionale $F$ tra due masse è proporzionale al prodotto delle loro masse ${{m_1 m_2}}$ e inversamente proporzionale al quadrato della distanza $r$ tra loro $r^2$ secondo una legge di potenza con un esponente di -2.

$$F = G \frac{{m_1 m_2}}{{r^2}}$$

Questo è un classico esempio di legge di potenza, in cui la forza diminuisce con il quadrato della distanza.

Terremoti

La frequenza e la magnitudo dei terremoti seguono una distribuzione a legge di potenza.

La legge di Gutenberg-Richter descrive che il numero di terremoti diminuisce esponenzialmente con l'aumentare della magnitudo.

Statistiche sui terremoti Relazione Gutenberg-Richter

Ciò significa che i piccoli terremoti sono molto più comuni di quelli grandi.

Popolazione e dimensioni delle città

Nelle scienze sociali, la distribuzione delle dimensioni delle città segue spesso una legge di potenza.

Ciò significa che ci sono alcune città molto grandi e molte città più piccole.

In seguito all'osservazione di Auerbach del 1913, è stata esaminata in modo approfondito la legge di Zipf per le dimensioni delle città.

Lo stesso schema si osserva nella distribuzione delle dimensioni della popolazione nei vari Paesi.

Distribuzione della ricchezza

In economia, le leggi di potenza descrivono la distribuzione della ricchezza.

Una piccola percentuale della popolazione controlla una gran parte della ricchezza, mentre la maggioranza ne controlla una frazione minore.

Questo viene spesso visualizzato con il Principio di Pareto o la "regola dell'80/20".

Sistemi biologici

In biologia, le leggi di potenza possono descrivere vari fenomeni, come la distribuzione delle dimensioni nelle popolazioni animali, i modelli di ramificazione degli alberi e dei vasi sanguigni.

Tasso metabolico - Visualizzazione Log-Log

Ad esempio, la relazione tra il peso corporeo di un animale e il suo tasso metabolico in chilocalorie, dove gli animali più grandi tendono ad avere un metabolismo più lento per unità di massa corporea rispetto agli animali più piccoli.

Perché le leggi di potenza sono importanti?

Le leggi di potenza sono importanti perché ci aiutano a comprendere e prevedere il comportamento di sistemi complessi.

Rivelano modelli sottostanti che non sono immediatamente evidenti e si trovano in un'ampia gamma di discipline, dalla fisica all'economia.

Comprendendo questi schemi, possiamo comprendere meglio la struttura e la dinamica del mondo che ci circonda.

Conclusione

Le leggi di potenza sono un concetto fondamentale che compare in diversi fenomeni naturali e sociali.

Esempi di distribuzione a legge di potenza. Adattato da: M. Newman, Power laws, Pareto distributions and Zipf's law, Contemporary Physics, 2007.

Forniscono un quadro di riferimento per comprendere come le diverse grandezze siano correlate e come le variazioni di una di esse possano influire su un'altra.

Che si tratti delle forze che governano le orbite planetarie o della distribuzione della ricchezza, le leggi di potere offrono preziose indicazioni sul mondo in cui viviamo.