🌍Invariance d'échelle
Scale Invariance: A Fundamental Concept
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Scale Invariance: A Fundamental Concept
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L'invariance d'échelle est une propriété des systèmes où certains modèles ou lois restent cohérents à différentes échelles.
Cela signifie que si vous faites un zoom avant ou arrière, les règles ou structures sous-jacentes restent inchangées.
Deux cubes produisent la même image, même si leur échelle est différente.
L'invariance d'échelle est une caractéristique commune aux systèmes naturels et artificiels, et elle permet de comprendre la nature autosimilaire de ces systèmes.
Les fractales sont des ensembles mathématiques qui présentent des motifs autosimilaires quelle que soit l'échelle à laquelle on les observe :
L'ensemble de Mandelbrot en est un exemple célèbre : en zoomant sur les limites, on découvre des structures infiniment complexes qui se reproduisent d'elles-mêmes.
Kochsim gif animé
Les fractales sont étroitement liées au concept d'invariance d'échelle.
Il s'agit de formes géométriques qui peuvent être divisées en parties, chacune d'entre elles étant une copie à échelle réduite de l'ensemble.
Cette propriété, connue sous le nom d'autosimilarité , est une caractéristique des objets fractals.
Les fractales se retrouvent dans de nombreux phénomènes naturels, tels que les flocons de neige, les chaînes de montagnes, les éclairs et même la structure des poumons et des vaisseaux sanguins.
La base mathématique des fractales implique des processus récursifs , où une règle simple est appliquée de manière répétée.
Ce processus itératif conduit à des structures complexes qui présentent une invariance d'échelle.
La dimension fractale est une mesure qui décrit comment les détails d'un motif fractal changent en fonction de l'échelle à laquelle ils sont mesurés.
Il prend souvent une valeur non entière, reflétant la complexité du motif.
Exemple de fractale
La longueur d'un littoral peut sembler infinie lorsque vous la mesurez avec une résolution de plus en plus fine.
En effet, les littoraux présentent une géométrie fractale , où des motifs similaires se répètent à différentes échelles.
Plus on examine le littoral de près, plus on découvre des détails qui ressemblent à une structure plus large.
Le schéma de ramification des arbres est un autre exemple d'invariance d'échelle.
Arbres fractals ramifiés
La forme des branches d'un arbre reflète la forme de l'arbre entier, les plus petites branches ressemblant à la structure des plus grandes.
Ce modèle fractal maximise l'exposition de l'arbre à la lumière du soleil et à l'air.
Les systèmes fluviaux présentent une invariance d'échelle dans leurs schémas de ramification.
Rivières fractales ramifiées
Les petits cours d'eau fusionnent pour former des rivières plus importantes, et le réseau de ces cours d'eau présente une autosimilarité à toutes les échelles, suivant des distributions en loi de puissance.
Le flocon de neige fractal, également connu sous le nom de flocon de neige de Koch , est une figure géométrique qui présente une autosimilarité à toutes les échelles.
Flocon de neige
Il est créé en commençant par un triangle équilatéral et en ajoutant de manière récursive des triangles équilatéraux plus petits à chaque côté. À chaque itération, un nouveau triangle est ajouté au tiers central de chaque côté existant, les côtés du nouveau triangle ayant un tiers de la longueur de l'original.
Au fur et à mesure que ce processus itératif se poursuit, la frontière du flocon de neige devient de plus en plus complexe et infiniment longue, tandis que la surface couverte converge vers une valeur finie.
Cette fractale illustre le concept d'invariance d'échelle, selon lequel la structure est similaire quel que soit le niveau d'agrandissement.
Le _Koch Snowflak_e montre comment des règles simples peuvent générer des détails complexes et infinis, caractéristiques de la géométrie fractale.
Dans le contexte de la loi de puissance du bitcoin, l'invariance d'échelle suggère que les relations mathématiques qui régissent la dynamique du marché du bitcoin restent cohérentes quel que soit le cadre temporel ou la taille du marché.
Depuis sa création, le cours du bitcoin a augmenté de huit ordres de grandeur.
Au départ, le bitcoin n'avait pratiquement aucune valeur, les premières transactions l'évaluant à moins de 0,01 dollar par bitcoin.
Par exemple, en 2010, la célèbre transaction "Bitcoin pizza" a permis d'évaluer 10 000 BTC à environ 25 dollars, soit un prix de 0,0025 dollar par bitcoin.
En revanche, le cours du bitcoin a atteint des sommets supérieurs à 73 000 dollars en 2024, une croissance incroyable qui souligne l'ascension de la crypto-monnaie et s'aligne sur les principes du comportement de la loi de puissance.
Dans le graphique ci-dessous, Giovanni applique le principe (de manière pédagogique) à la prédiction faite par [Harold Christopher Burger](https://medium.com/u/8a70b212d583?source=post_page----- 962dfaf99ee9--------------------------------) il y a 5 ans en utilisant la loi de puissance (points bleus).
5 ans plus tard , la prédiction s'est avérée correcte (points rouges).
Le corridor de la loi du pouvoir du bitcoin prédit en 2019
Vous pouvez voir que l'on aurait pu utiliser l'invariance d'échelle pour faire la prédiction (il l'a fait indirectement en supposant que le chemin continuait).
L'invariance d'échelle est utilisée en permanence en science pour faire des prédictions.
Cela signifie que les modèles et les comportements observés dans le prix du bitcoin et les mesures du réseau peuvent être analysés et compris à différentes échelles, ce qui permet de prédire les tendances à long terme sur la base de données historiques.
