🌌Leistungsgesetze
Almost everything follows power laws.
Was ist ein Potenzgesetz?
Ein Potenzgesetz ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine relative Änderung der einen Größe zu einer proportionalen relativen Änderung der anderen Größe führt, unabhängig von der ursprünglichen Größe dieser Größen. Die allgemeine Form eines Potenzgesetzes lautet:
Dabei sind und die Variablen, ist eine Konstante, und ist der Exponent.
Diese Art von Beziehung deutet darauf hin, dass die Veränderung einer Variablen zu einer vorhersehbaren Veränderung der anderen führt und einem einheitlichen Muster folgt.
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Normalverteilung vs. Potenzgesetzverteilung
Einfache Erläuterung
Vereinfacht ausgedrückt, beschreibt ein Potenzgesetz Situationen, in denen eine bestimmte Änderung eines Faktors eine entsprechende Änderung eines anderen Faktors bewirkt.
Wenn beispielsweise die Verdoppelung der Nutzerzahl auf einer Social-Media- Plattform zu einer Vervierfachung des Netzwerkwerts führt, kann diese Beziehung durch ein Potenzgesetz beschrieben werden.
Ähnlich verhält es sich, wenn die Vergrößerung der Länge einer Seite eines Quadrats zu einer Vergrößerung der Fläche um das Quadrat der Längenänderung führt; dies folgt einem Potenzgesetz.
Log-Log-Diagramme
Log-Log-Diagramme können zur Visualisierung von Potenzgesetzen verwendet werden.
Logarithmische Darstellungen können helfen, diese mathematischen Beziehungen leichter zu verstehen und zu erkennen.
Betrachten wir wieder das Potenzgesetz .
Nimmt man den Logarithmus beider Seiten, ergibt sich das Potenzgesetz:
Dies ist eine lineare Gleichung (im logarithmischen Raum), bei der die Steigung und der y-Achsenabschnitt ist.
Daher erscheint eine Potenzgesetz-Beziehung als gerade Linie in einem Log-Log- Diagramm (wie in den Abbildungen unten), wobei die Steigung der Linie dem Exponenten des Potenzgesetzes entspricht.
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y_Linear - x_Linear Plot Visualisierung
y_Log - x_Log Plot Visualisierung
Beispiele für Leistungsgesetze in der Natur und in anderen Zusammenhängen
Planetarische Bahnen
Das Dritte Keplersche Gesetz besagt, dass das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten proportional zur dritten Potenz seiner durchschnittlichen Entfernung von der Sonne ist:
Log-Log-Diagramm der Umlaufzeit in Abhängigkeit von der durchschnittlichen Entfernung von der Sonne für Planeten im Sonnensystem, das das Dritte Keplersche Gesetz veranschaulicht.
Die Regressionslinie passt sich den Planetendaten mit hoher Genauigkeit an, wie das Streudiagramm auf einer log-logarithmischen Skala zeigt.
Schwerkraft
Die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten folgt einem Potenzgesetz.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Massen proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands r$$$ zwischen ihnen r^2$$ nach einem Potenzgesetz mit einem Exponenten von -2 ist.
Dies ist ein klassisches Beispiel für ein Potenzgesetz, bei dem die Kraft mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt.
Erdbeben
Die Häufigkeit und Stärke von Erdbeben folgen einer Potenzgesetzverteilung.
Das Gutenberg-Richter-Gesetz beschreibt, dass die Zahl der Erdbeben mit zunehmender Stärke exponentiell abnimmt.
Erdbebenstatistik Gutenberg-Richter-Relation
Das bedeutet, dass kleine Erdbeben sehr viel häufiger vorkommen als große.
Einwohnerzahl und Stadtgrößen
In den Sozialwissenschaften folgt die Verteilung der Stadtgrößen oft einem Potenzgesetz.
Das bedeutet, dass es einige sehr große Städte und viele kleinere Orte gibt.
Im Anschluss an Auerbachs Beobachtung aus dem Jahr 1913 wurde das Zipf'sche Gesetz für Stadtgrößen eingehend untersucht.
Das gleiche Muster ist bei der Verteilung der Bevölkerungsgrößen in den einzelnen Ländern zu beobachten.
Verteilung des Reichtums
In der Wirtschaftswissenschaft beschreiben die Machtgesetze die Verteilung des Reichtums.
Ein kleiner Prozentsatz der Bevölkerung kontrolliert einen großen Teil des Wohlstands, während die Mehrheit einen kleineren Teil kontrolliert.
Dies wird häufig mit dem Pareto-Prinzip oder der "80/20-Regel" veranschaulicht .
Biologische Systeme
In der Biologie können Potenzgesetze verschiedene Phänomene beschreiben, z. B. die Größenverteilung in Tierpopulationen, die Verzweigungsmuster von Bäumen und Blutgefäßen.
Stoffwechselrate - Log-Log-Visualisierung
Zum Beispiel das Verhältnis zwischen dem Körpergewicht eines Tieres und seiner Stoffwechselrate in Kilokalorien, wobei größere Tiere im Vergleich zu kleineren Tieren einen langsameren Stoffwechsel pro Einheit der Körpermasse haben.
Warum sind Leistungsgesetze wichtig?
Leistungsgesetze sind wichtig, weil sie uns helfen, das Verhalten komplexer Systeme zu verstehen und vorherzusagen.
Sie enthüllen zugrundeliegende Muster, die nicht sofort offensichtlich sind, und sind in einer Vielzahl von Disziplinen zu finden, von der Physik bis zur Wirtschaft.
Wenn wir diese Muster verstehen, können wir die Struktur und Dynamik der Welt um uns herum besser nachvollziehen.
Schlussfolgerung
Machtgesetze sind ein grundlegendes Konzept, das in verschiedenen natürlichen und sozialen Phänomenen auftaucht.
Beispiele für die Potenzgesetzverteilung. Angepasst aus: M. Newman, Power laws, Pareto distributions and Zipf's law, Contemporary Physics, 2007.
Sie bieten einen Rahmen, um zu verstehen, wie verschiedene Größen miteinander zusammenhängen und wie sich Veränderungen einer Größe auf eine andere auswirken können.
Ob es sich um die Kräfte handelt, die die Umlaufbahnen der Planeten oder die Verteilung des Reichtums bestimmen, die Machtgesetze bieten wertvolle Einblicke in die Welt, in der wir leben.
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