Skaleninvarianz
Scale Invariance: A Fundamental Concept
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Scale Invariance: A Fundamental Concept
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Skaleninvarianz ist eine Eigenschaft von Systemen, bei der bestimmte Muster oder Gesetze über verschiedene Skalen hinweg gleich bleiben.
Das bedeutet, dass die zugrundeliegenden Regeln oder Strukturen beim Vergrößern oder Verkleinern unverändert bleiben.
Zwei Würfel ergeben das gleiche Bild, auch wenn ihr Maßstab unterschiedlich ist.
Skaleninvarianz ist ein gemeinsames Merkmal natürlicher und künstlicher Systeme und gibt Aufschluss über die selbstähnliche Natur dieser Systeme.
Fraktale sind mathematische Mengen, die unabhängig vom Maßstab, in dem sie betrachtet werden, selbstähnliche Muster aufweisen:
Kochsim animiertes gif
Fraktale sind eng mit dem Konzept der Skaleninvarianz verbunden.
Es handelt sich um geometrische Formen, die in Teile unterteilt werden können, von denen jeder eine verkleinerte Kopie des Ganzen ist.
Diese Eigenschaft, die als Selbstähnlichkeit bekannt ist, ist ein Kennzeichen fraktaler Objekte.
Fraktale sind in vielen Naturphänomenen zu finden, z. B. in Schneeflocken, Gebirgszügen, Blitzen und sogar in der Struktur von Lungen und Blutgefäßen.
Die mathematische Grundlage der Fraktale sind rekursive Prozesse , bei denen eine einfache Regel wiederholt angewendet wird.
Dieser iterative Prozess führt zu komplexen Strukturen, die skaleninvariant sind.
Die fraktale Dimension ist ein Maß, das beschreibt, wie sich die Details in einem fraktalen Muster mit dem Maßstab, in dem es gemessen wird, verändern.
Er nimmt oft einen nicht ganzzahligen Wert an, was die Komplexität des Musters widerspiegelt.
Beispiel eines Fraktals
Die Länge einer Küstenlinie kann unendlich erscheinen, wenn man sie mit immer feinerer Auflösung misst.
Das liegt daran, dass Küstenlinien eine fraktale Geometrie aufweisen , bei der sich ähnliche Muster in verschiedenen Maßstäben wiederholen.
Je genauer man die Küstenlinie betrachtet, desto mehr Details entdeckt man, die der größeren Struktur ähneln.
Das Verzweigungsmuster von Bäumen ist ein weiteres Beispiel für Skaleninvarianz.
Verzweigte Fraktalbäume
Die Form der Äste eines Baumes spiegelt die Form des gesamten Baumes wider, wobei die kleineren Äste die Struktur der größeren Äste nachbilden.
Dieses fraktale Muster maximiert die Exposition des Baumes gegenüber Sonnenlicht und Luft.
Flusssysteme weisen in ihren Verzweigungsmustern eine Skaleninvarianz auf.
Verzweigte fraktale Flüsse
Kleinere Bäche fließen zu größeren Flüssen zusammen, und das Netz dieser Wasserläufe weist über die Skalen hinweg eine Selbstähnlichkeit auf, die einer Potenzgesetz-Verteilung folgt.
Das Schneeflocken-Fraktal, auch bekannt als die Koch-Schneeflocke , ist eine geometrische Figur, die in jedem Maßstab Selbstähnlichkeit aufweist.
Schneeflocke
Es wird erstellt, indem man mit einem gleichseitigen Dreieck beginnt und rekursiv kleinere gleichseitige Dreiecke zu jeder Seite hinzufügt. Bei jeder Iteration wird ein neues Dreieck an das mittlere Drittel jeder bestehenden Seite angefügt, wobei die Seiten des neuen Dreiecks ein Drittel der Länge des ursprünglichen Dreiecks betragen.
Im Laufe dieses iterativen Prozesses wird der Rand der Schneeflocke immer komplizierter und unendlich lang, während die eingeschlossene Fläche auf einen endlichen Wert konvergiert.
Dieses Fraktal veranschaulicht das Konzept der Skaleninvarianz, bei dem die Struktur unabhängig vom Vergrößerungsgrad ähnlich aussieht.
Die _Koch Snowflak_e demonstriert, wie einfache Regeln komplexe, unendliche Details erzeugen können, die für die fraktale Geometrie charakteristisch sind.
Im Zusammenhang mit dem Bitcoin Power Law bedeutet Skaleninvarianz, dass die mathematischen Beziehungen, die die Marktdynamik von Bitcoin bestimmen, unabhängig vom Zeitrahmen oder der Marktgröße konsistent bleiben.
Seit seiner Einführung ist der Preis von Bitcoin um acht Größenordnungen gestiegen.
Anfangs war der Bitcoin praktisch wertlos, da die ersten Transaktionen einen Wert von weniger als 0,01 Dollar pro Bitcoin hatten.
Zum Beispiel wurden 2010 bei der berühmten "Bitcoin-Pizza"-Transaktion 10.000 BTC mit etwa 25 US-Dollar bewertet, was einem Preis von 0,0025 US-Dollar pro Bitcoin entsprach.
Im Gegensatz dazu hat der Bitcoin-Preis im Jahr 2024 einen Höchststand von über 73.000 Dollar erreicht, ein unglaubliches Wachstum, das den Aufstieg der Kryptowährung unterstreicht und mit den Prinzipien des Potenzgesetzes übereinstimmt.
In der nachstehenden Grafik wendet Giovanni das Prinzip (pädagogisch) auf die Vorhersage an, die [Harold Christopher Burger](https://medium.com/u/8a70b212d583?source=post_page----- 962dfaf99ee9--------------------------------) vor 5 Jahren anhand des Potenzgesetzes gemacht hat (blaue Punkte).
5 Jahre später erwies sich die Vorhersage als richtig (rote Punkte).
Bitcoin-Power-Law-Korridor im Jahr 2019 vorhergesagt
Wie man sieht, hätte man die Skaleninvarianz nutzen können, um die Vorhersage zu treffen (er tat dies indirekt unter der Annahme, dass der Pfad fortgesetzt wird).
Die Skaleninvarianz wird in der Wissenschaft immer wieder genutzt, um Vorhersagen zu treffen.
Das bedeutet, dass die Muster und Verhaltensweisen, die in den Bitcoin-Kursen und Netzwerkmetriken beobachtet werden, in verschiedenen Maßstäben analysiert und verstanden werden können, so dass es möglich ist, langfristige Trends auf der Grundlage historischer Daten vorherzusagen.
Die ist ein berühmtes Beispiel, bei dem das Heranzoomen an den Rand unendlich komplexe, sich selbst reproduzierende Strukturen offenbart.
