🌌Законы силы

Almost everything follows power laws.

Что такое закон силы?

Закон мощности - это математическая зависимость между двумя величинами, при которой относительное изменение одной величины приводит к пропорциональному относительному изменению другой, независимо от начального размера этих величин. В общем виде закон мощности выглядит следующим образом:

$y = Ax^n$

Здесь $y$ и $x$ - переменные, $A$ - константа, а $n$ - экспонента.

Этот тип взаимосвязи предполагает, что изменение одной переменной приводит к предсказуемому изменению другой, следуя последовательной схеме.

.jpg)

Нормальное распределение и закон распределения

Простое объяснение

Проще говоря, закон мощности описывает ситуацию, когда определенное изменение одного фактора вызывает соответствующее изменение другого.

Например, если удвоение количества пользователей на платформе социальных сетей приводит к четырехкратному увеличению ценности сети, то эта зависимость может быть описана степенным законом.

Аналогично, если увеличение длины стороны квадрата приводит к увеличению площади на квадрат изменения длины, то это происходит по степенному закону.

Лог-лог

Для визуализации законов мощности можно использовать логарифмические диаграммы.

Графики логарифмической сетки помогают легче понять и определить эти математические зависимости.

Снова рассмотрим степенной закон $y = Ax^n$.

Если взять логарифм обеих сторон, то получится закон мощности:

$log (y) = alog (x) + log (b)$

Это линейное уравнение (в логарифмическом пространстве), где $a$ - наклон, а $log (b)$ - y-интерцепт.

Поэтому зависимость по закону мощности будет выглядеть как прямая линия на графике логарифмической линейки (например, на рисунке ниже), а наклон линии будет соответствовать экспоненте в законе мощности.

.png)

Визуализация графиков y_Linear - x_Linear

Визуализация графика y_Log - x_Log

Примеры силовых законов в природе и других контекстах

Планетарные орбиты

Третий закон Кеплера гласит, что квадрат орбитального периода $T$ планеты пропорционален кубу ее среднего расстояния $a$ от Солнца:

$T^2 \propto a^3$

Лог-диаграмма зависимости орбитального периода от среднего расстояния до Солнца для планет Солнечной системы, иллюстрирующая третий закон Кеплера.

Линия регрессии с высокой точностью соответствует планетарным данным, как видно из диаграммы рассеяния в логарифмическом масштабе.

Гравитация

Сила притяжения между двумя объектами подчиняется степенному закону.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что сила тяготения $F$ между двумя массами пропорциональна произведению их масс ${{m_1 m_2}}$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$ между ними $r^2$ по степенному закону с экспонентой -2.

$F = G \frac{{m_1 m_2}}{{r^2}}$

Это классический пример силового закона, когда сила уменьшается с квадратом расстояния.

Землетрясения

Частота и сила землетрясений распределяются по закону мощности.

Закон Гутенберга-Рихтера описывает, что количество землетрясений уменьшается экспоненциально с увеличением магнитуды.

Статистика землетрясений Отношение Гутенберга-Рихтера

Это означает, что мелкие землетрясения происходят гораздо чаще, чем крупные.

Население и размеры городов

В социальных науках распределение размеров городов часто подчиняется закону мощности.

Это означает, что здесь есть несколько очень крупных городов и множество небольших поселков.

После наблюдения Ауэрбаха, сделанного в 1913 году, было проведено значительное исследование закона Ципфа для размеров городов.

Аналогичная картина наблюдается и в распределении численности населения по странам.

Распределение богатства

В экономике законы власти описывают распределение богатства.

Небольшой процент населения контролирует большую часть богатства, а большинство - меньшую.

Это часто визуализируется с помощью принципа Парето или "правила 80/20".

Биологические системы

В биологии законы мощности могут описывать различные явления, такие как распределение размеров в популяциях животных, ветвление деревьев и кровеносных сосудов.

Скорость метаболизма - визуализация лог-лога

Например, зависимость между массой тела животного и скоростью его метаболизма в килокалориях, когда у крупных животных, как правило, более медленный обмен веществ на единицу массы тела по сравнению с мелкими животными.

Почему важны законы силы?

Законы мощности важны, поскольку помогают понять и предсказать поведение сложных систем.

Они выявляют глубинные закономерности, которые не очевидны сразу, и встречаются в самых разных дисциплинах, от физики до экономики.

Понимая эти закономерности, мы можем лучше понять структуру и динамику окружающего нас мира.

Заключение

Силовые законы - это фундаментальная концепция, которая проявляется в различных природных и социальных явлениях.

Примеры распределения по закону мощности. Адаптировано из: M. Newman, Power laws, Pareto distributions and Zipf's law, Contemporary Physics, 2007.

Они позволяют понять, как связаны между собой различные величины и как изменения в одной из них могут повлиять на другую.

Будь то силы, управляющие орбитами планет или распределением богатства, законы силы дают ценное представление о мире, в котором мы живем.