🌍Invarianza di scala
Scale Invariance: A Fundamental Concept
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Scale Invariance: A Fundamental Concept
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L'invarianza di scala è una proprietà dei sistemi in cui alcuni modelli o leggi rimangono coerenti su scale diverse.
Ciò significa che, se si ingrandisce o si riduce, le regole o le strutture sottostanti appaiono invariate.
Due cubi producono la stessa immagine, anche se la loro scala è diversa.
L'invarianza di scala è una caratteristica comune ai sistemi naturali e artificiali e permette di capire la natura autosimile di questi sistemi.
I frattali sono insiemi matematici che presentano modelli autosimili indipendentemente dalla scala in cui vengono osservati:
Un esempio famoso è l'insieme di Mandelbrot, dove lo zoom sui confini rivela strutture infinitamente complesse e auto-replicanti.
Gif animata Kochsim
I frattali sono strettamente legati al concetto di invarianza di scala.
Sono forme geometriche che possono essere divise in parti, ognuna delle quali è una copia in scala ridotta dell'insieme.
Questa proprietà, nota come autosimilarità , è un segno distintivo degli oggetti frattali.
I frattali sono presenti in molti fenomeni naturali, come i fiocchi di neve, le catene montuose, i fulmini e persino la struttura dei polmoni e dei vasi sanguigni.
La base matematica dei frattali prevede processi ricorsivi , in cui una semplice regola viene applicata ripetutamente.
Questo processo iterativo porta a strutture complesse che presentano invarianza di scala.
La dimensione frattale è una misura che descrive il modo in cui i dettagli di un modello frattale cambiano a seconda della scala in cui vengono misurati.
Spesso assume un valore non intero, che riflette la complessità del modello.
Esempio di frattale
La lunghezza di una linea di costa può apparire infinita man mano che la si misura con una risoluzione sempre più fine.
Questo perché le linee di costa presentano una geometria frattale , in cui schemi simili si ripetono a scale diverse.
Più si esamina da vicino la costa, più si scoprono dettagli che ricordano la struttura più grande.
Il modello di ramificazione degli alberi è un altro esempio di invarianza di scala.
Alberi frattali ramificati
La forma dei rami di un albero rispecchia la forma dell'intero albero, con i rami più piccoli che ricordano la struttura di quelli più grandi.
Questo schema frattale massimizza l'esposizione dell'albero alla luce solare e all'aria.
I sistemi fluviali mostrano un'invarianza di scala nei loro modelli di ramificazione.
Fiumi frattali ramificati
I corsi d'acqua più piccoli si uniscono per formare fiumi più grandi e la rete di questi corsi d'acqua mostra un'autosimilarità tra le varie scale, seguendo distribuzioni a legge di potenza.
Il frattale del fiocco di neve, noto anche come fiocco di Koch , è una figura geometrica che presenta un'autosimilarità a ogni scala.
Fiocco di neve
Si crea partendo da un triangolo equilatero e aggiungendo ricorsivamente triangoli equilateri più piccoli a ciascun lato. A ogni iterazione, un nuovo triangolo viene aggiunto al terzo medio di ogni lato esistente, con i lati del nuovo triangolo che sono un terzo della lunghezza dell'originale.
Man mano che questo processo iterativo prosegue, il confine del fiocco di neve diventa sempre più intricato e infinitamente lungo, mentre l'area racchiusa converge verso un valore finito.
Questo frattale esemplifica il concetto di invarianza di scala, per cui la struttura appare simile indipendentemente dal livello di ingrandimento.
Il _Koch Snowflak_e dimostra come semplici regole possano generare dettagli complessi e infiniti, caratteristici della geometria frattale.
Nel contesto della legge di potenza del Bitcoin, l'invarianza di scala suggerisce che le relazioni matematiche che regolano le dinamiche di mercato del Bitcoin rimangono coerenti indipendentemente dall'arco temporale o dalle dimensioni del mercato.
Dalla sua nascita, il prezzo del Bitcoin è aumentato di otto ordini di grandezza.
Inizialmente, il Bitcoin era praticamente privo di valore, con le prime transazioni che lo valutavano a meno di 0,01 dollari per Bitcoin.
Ad esempio, nel 2010, la famosa transazione "Bitcoin pizza" ha valutato 10.000 BTC a circa 25 dollari, pari a un prezzo di 0,0025 dollari per Bitcoin.
Al contrario, il prezzo del Bitcoin ha raggiunto picchi superiori a 73.000 dollari nel 2024, una crescita incredibile che evidenzia l'ascesa della criptovaluta, allineandosi ai principi della legge di potenza.
Nel grafico qui sotto Giovanni applica il principio (pedagogicamente) alla previsione che Harold Christopher Burger fece 5 anni fa utilizzando la Legge di Potenza (punti blu).
5 anni dopo la previsione si è rivelata corretta (punti rossi).
Corridoio della legge sul potere del Bitcoin previsto nel 2019
Si può notare che si sarebbe potuta usare l'invarianza di scala per fare la previsione (lo ha fatto indirettamente assumendo che il percorso continuasse).
L'invarianza di scala viene utilizzata continuamente nella scienza per fare previsioni.
Ciò significa che i modelli e i comportamenti osservati nel prezzo di Bitcoin e nelle metriche di rete possono essere analizzati e compresi su diverse scale, rendendo possibile prevedere le tendenze a lungo termine sulla base dei dati storici.
